Turunan Fungsi (Lebih Dari 1 Variabel)

Fungsi Dua Variabel didefinisikan sebagai sebuah fungsi bernilai real dari dua variabel real, yakni fungsi f yang memadankan setiap pasangan terurut (x, y ) pada suatu himpunan D dari bidang dengan bilangan real tunggal f (x, y ). 
DEFINISI
a. Turunan parsial terhadap variabel x
                     Jika  x  berubah-ubah  dan y  tertentu maka  z  merupakan fungsi x, Turunan parsial  z = f(x,y) terhadap x  sbb :


b. Turunan parsial terhadap variabel y
                     Jika  y berubah-ubah  dan x  tertentu maka z  merupakan fungsi y,  Turunan parsial  z = f(x,y) terhadap y  sbb :
Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit.  Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka secara umum ditulis dalam bentuk z = F(x,y). Sebaliknya jika fungsi dituliskan dalam bentuk implisit, secara umum  ditulis dalam bentuk F(x,y,z) = 0.
Contoh:
  1. z = 2x + y
  2. xy + xz – yz = 0
c. Turunan Parsial Fungsi Dua dan Tiga Peubah
            Misal z = F(x,y) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y. Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu:
  • y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah.
  • x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah
  • x dan y berubah bersama-sama sekaligus.
            Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus diferensial.

           Misal z = F(x,y) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan
     &    
       Untuk memudahkan persoalan andaikan z = F(x,y) maka untuk menentukan  sama artinya dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan selanjutnya y diturunkan. Demikian pula untuk menentukan  sama artinya dengan menurukan variable y dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan.

            Dengan cara yang sama, andaikan W = F(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan , dan yang secara berturut didefinisikan oleh :


d. Differensial Total dan Turunan Total
membentuk turunan parsial  dan, perubahan dan  ditinjau berasingan.sekarang kita tinjau pengaruh perubahan x dan y bersama-sama. Dalam Persamaan linier dari  dan berbentuk  disebut diferensial total dari z dititik 9( x,y). 
jika z = f (x,y)mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di D ,maka z mempunyai diferensial total :
dz =  disetiap titik (x,y) dari D

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Hubungan dan Fungsi

Image
Hubungan atau Relasi Hubungan atau Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota-anggota dari himpunan satu anggota-anggota himpunan yang lain. Untuk menggambarkannya, dapat kita contohkan sebagai berikut: Dalam sebuah keluarga kecil, terdapat 6 anggota yang terdiri dari Ayah (Budi), Ibu (Halimah), Anak ( Dony, Herman, Juan, Kalis, dan Sofie). Masing-masing anggota keluarga memiliki hobi sendiri – sendiri, Budi mempunyai hobi badminton, Ibu – merajut, Dony dan Herman – sepakbola, Juan dan Sofie – basket. Dari kejadian di atas, kita dapat membuat relasinya dengan cara menentukan himpunannya terlebih dahulu. Untuk daerah asal, kita ambil pemisalan dengan himpunan hobi atau A={badminton, merajut, sepakbola, basket}. Untuk daerah kawan, kita ambil himpunan keluarga Bapak Budi atau B={Budi, Halimah, Dony, Herman, Juan, Kalis, Sofie} Relasi di atas dinamakan “Hobi Dari”. Cara membacanya adalah urut dari anggota paling atas, contohnya: Badminton adalah hobi dari Budi, ...
Read more

Matriks (lanjutan 3)

Image
Menyelesaikan persamaan aljabar simultan merupakan suatu proses dalam menyelesaiakan persamaan aljabar dengan metode-meode yang telah ada. Persamaan aljabar simultan sendiri adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yang secara bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas. Bentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan dan n variabel bebas dapat dituliskan sebagai berikut: Dimana: a i j untuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah koefisien atau persamaan simultan x i untuk i=1 s/d n adalah variabel bebas pada persamaan simultan Penyelesaian persamaan linier simultan adalah penentuan nilai x i untuk semua i=1 s/d n yang memenuhi semua persamaan yang diberikan. Persamaan linier simultan diatas dapat dinyatakan sebagai bentuk matrik yaitu: Matrik A = Matrik Koefisien atau Matrix Jacobian Vektor x = Vektor variabel Vektor B = Vektor konstanta Persamaan aljabar simultan adalah persamaan aljabar yang mempunyai lebih dari satu persamaan dan diselesaikan secara simultan. P...
Read more

Aplikasi Turunan

Image
Pada materi aplikasi turunan kita akan mendapati beberapa bentuk turunan. Bentuk turunan tersebut diantaranya yaitu turunan pertama, turunan kedua dan turunan fungsi trigonometri. Berikut penjelasannya: Turunan pertama Semisal y adalah fungsi dari x atau dapat ditulis juga bahwa y = f (x). Sehingga turunan dari y terhadap x dinotasikan dengan konsep rumus berikut ini: Dengan memanfaatkan definisi turunan diatas dapat diturunkan beberapa rumus turunan yang meliputi: Jika diketahui y = Cx n  dimana C dan juga n merupakan suatu bentuk konstanta real, maka dy : dx = Cnx n – 1 Jika diketahui y = C dan C merupakan elemen R maka dy : dx = 0 Untuk y = f (x) + g (x) sehingga maka dy / dx = f aksen sehingga x + g aksen sehingga x atau dalam rumus = f’(x) + g’ (x) Untuk y = f (x) . g (x) sehingga maka dy / dx = f aksen sehingga x . g sehingga x + g aksen sehingga x . f sehingga x atau dalam rumus f’ (x) . g (x) + g’ (x) . f (x) Turunan kedua  Turunan kedua dari y = f ...
Read more